This video lecture on engineering economics focuses on using formulas and interest factor tables to solve compound interest problems. The instructor presents several examples demonstrating both formula-based and table-based solutions, highlighting the similarities and minor discrepancies due to rounding in tables.
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bienvenidos jóvenes a otra clase de ingeniería económica en esta ocasión continuaremos con el tema uso de fórmulas y tablas de factores de interés compuesto la agenda a desarrollar el día de hoy son ejemplos de interés compuesto con el uso de fórmulas y también con tablas veamos
ejemplo 1 cuál será el valor futuro en el año 30 de un valor presente de 10.000 dólares a una tasa de interés del 12% semestral lo primero que siempre debemos de ver es cuál es la tasa de interés efectiva que en este caso ya nos la dan efectiva y es del 12% semestral pues esto es lo que nos va a dar la pauta para elegir en qué periodo de tiempo vamos a trabajar y como sabiendo que en el año 30 multiplicando 30 años por 2 que son dos semestres en un año nos da que son 60 semestres así tenemos homologado tanto el periodo de tiempo de trabajo como la tasa que es como nosotros debemos de trabajar y la pregunta es cuál será el valor futuro si tenemos un valor presente de 10.000 dólares entonces eso tendría que ser equivalente un valor futuro en el año o en el semestre 60 ahora estas son dos formas de representar diagrama los diagramas puesto que aquí estamos representando en ambos salida no así si quisiésemos representarlo en un solo diagrama el primer flujo tendría que ser salida y el siguiente flujo tendría que ser una entrada y desde ahí está diríamos diciendo una equivalencia o estaríamos obteniendo la equivalencia donde costos igual a ingresos recordando que para que se den una equivalencia la igualdad tienen que estar en el mismo punto del tiempo quedémonos con uno solo de estos diagramas así tenemos que la solución por fórmula la ecuación que relaciona con efe es f es igual a p factor de uno más y alain sustituyendo datos sintetizando tenemos que f es igual a los 10.000 dólares hoy por el factor efe dado p que equivale a 897 punto 59 69 30 y 35 quedando un valor futuro de 8 millones 975 mil 969 punto 34 entonces podemos decir que 10 mil dólares el día de hoy es equivalente a 8 millones 975 mil 969 punto 34 en el año 30 así veamos ahora la solución portable tenemos que el factor f dado p para unir y para un n es el que relaciona a efe y p sustituyamos los datos y tenemos el factor p por el factor f dado p por el 12% y a 60 semestres busquemos este factor en tablas recordemos que debemos relacionar el n que 60 y buscamos el factor que sería la columna y donde se intercepta ahí es donde tenemos el valor de nuestro factor y ese factor es de 8 897 puntos 59 69 3 sustituyamos este dato que hemos obtenido con nuestro factor y vemos que el resultado es bastante aproximado variando sólo en cuatro centavos ahora porque se dan estas variaciones es de recordar que en todas las tablas hay aproximaciones y estas aproximaciones al final generan algún tipo de error pero es una aproximación bastante aceptable puesto que si ustedes pueden ver solo es en centavos la variación entonces ahora veamos un segundo ejemplo que nos dice cuánto tiempo estaría una persona dispuesta a gastar ahora con el fin de evitar el gasto de 500 dólares dentro de 7 años a partir de hoy si la tasa de interés es del 18% es de recordar que cuando no nos dicen qué tipo de capitalización está la tasa de interés nosotros debemos de asumir que esa tasa es anual por lo tanto nosotros vamos a trabajar con años y el flujo hay que colocar el punto de vista que lo vamos a realizar puesto que si este dinero se gasta se y se colocasen un banco para la persona es un gasto pero para el banco sería un ingreso por eso vamos a trabajar con el punto de vista de la persona trabajaremos con un periodo de siete años y desde el punto de vista de la persona queremos saber cuánto desembolsar el día de hoy para evitar un gasto en el año 7 de 500 dólares resolvamos lo por fórmula la ecuación que relaciona a estas dos variables es igual a igual a f factor de uno sobre uno más y a la n sustituyendo datos tenemos que p es igual a 500 x 0.21 punto 39 25 03 32 dándonos un valor presente de 156 punto 96 eso significa que 500 dólares en el año 7 son equivalentes a 156 puntos 96 hoy he evaluado con una tasa de interés del 18 por ciento anual realicemos el mismo ejercicio por medio de tablas tenemos que es igual a efe factor de edad efe para y para n sustituyendo datos tenemos que la incógnita k es el factor de piedad o efe para un 18% con 7 años buscamos este factor dentro de las tablas ustedes van a notar que ese factor es de 0.31 39 3 sustituyendo este dato tenemos que f es igual a 156 punto 97 como pueden ver tanto la solución por fórmula como la solución por tabla son muy similares teniendo la ventaja que por tabla nos ahorramos los muchos de los cálculos que podemos hacer en la calculadora aunque es factible si no hay muchas fórmulas y sólo son datos puntuales perfectamente podríamos utilizar fórmulas pero ambas son aceptadas ambas soluciones veamos el ejemplo 3 si una persona deposita 600 dólares semestrales cuánto dinero tendrá al final del año 4 a una tasa de interés del 12% capitalizables semestralmente debemos de ver que la tasa que nos están dando aquí es una tasa nominal por lo tanto nosotros debemos de convertirla en una tasa efectiva pues todas las fórmulas están diseñadas para tasas efectivas y desde el punto de vista de la persona que deposita vamos a hacer nuestro diagrama esa tasa pasada efectiva recordando que un año tiene dos semestres dividimos ese 12% entre dos y tenemos una tasa efectiva del 6% semestral diagrama mente nosotros tenemos esos ingresos semestrales de 600 dólares al final de cada periodo y este es una forma resumida una forma simplificada de poder hacerlo porque también lo pudimos haber hecho trayendo en cada uno de estos períodos en el 1 en el 2 hasta el semestre 8 un flujo o una flecha que implica un ingreso recordando que los ingresos se van a considerar todas las flechas que entran a la línea del tiempo así esta es la forma simplificada de representar que hay 8 ingresos desde el año o el semestre 1 hasta el semestre 8 resolvamos lo y la incógnita que un cometa que nosotros tenemos es cuánto va a equivaler esos seiscientos dólares semestrales por ocho semestres o por cuatro años al final de estos cuatro años resolviendo lo por fórmula vemos que la que relaciona efe efe igual a factor de uno más y a la n 1 sobre sustituyendo tenemos que es igual a 600 por 9.89 74-67 909 dándonos un valor equivalente de cinco mil novecientos 38.48 esto significa que ocho desembolsos semestrales de seiscientos dólares es equivalente a cinco mil novecientos 38.48 en un solo desembolso al final del semestre 8 o al final del cuarto año evaluado con una tasa del 6% semestral o como nos desierto el problema el 12% capitalizable semestralmente resolviendo en un problema por medio de tablas tenemos que f es igual a factor x el factor f dado a para unir para un n sustituimos datos y buscamos este factor en las tablas donde se interceptan ahí nosotros lo tenemos y ese valor efe dado a para el 6% con un n de 8 es de 9.89 747 sustituyendo este dato tenemos que f es igual a 5.900 38.48 como pueden observar las aproximaciones en este caso son bastante exactas veamos otro ejemplo cuál fue la serie de pagos que tuvo que realizar juan pérez para obtener 25 mil dólares en cinco años a una tasa de interés del 8 por ciento de igual forma nosotros lo vamos a hacer desde el punto de vista de juan pérez y como no nos dicen cuál es el periodo que se da ese interés del 8 por ciento siempre vamos a asumir que eso es anual por lo tanto nosotros vamos a trabajar en años y la pregunta es nosotros necesitamos saber cuánto deberíamos estar depositando cada año para poder obtener 25 mil dólares al final del año 5 resolvamos el ejercicio a través de fórmula y decimos que a la serie de fin de periodo es igual a efe factor de iu sobre uno más ya la enee menos 1 sustituyendo datos tenemos que a es igual a 25.000 dólares por 0.17 04 56 45 46 dándonos un valor o desembolsos anuales de 4.261 punto 41 esto quiere decir que 5 desembolsos anuales de 4.260 y 1.41 es equivalente a 25 mil dólares al final del año 5 realizamos el mismo ejercicio por medio de tablas tenemos que a es igual a efe por el factor ha dado f por iu y por en donde tiene son el 8% y en es 5 años busquemos este factor en las tablas vemos que el factor ha dado 18% 5 es igual a 0.17 146 sustituyendo este valor tenemos que a es igual a 4.261 punto 50 recordando que la diferencia de la solución por tablas con la solución por fórmulas se da básicamente por las aproximaciones que nosotros tenemos en todos los factores de las tablas de interés compuesto veamos el siguiente ejercicio calcule es el valor actual de depósitos de dos mil dólares anuales durante diez años con una tasa de interés del 23 por ciento vamos a considerar el punto de vista del depositante puesto que para un depositante o una persona que va a hacer un depósito en un banco implica una salida de dinero pero para el banco implica una entrada de dinero por eso la diferencia de el punto de vista que nosotros utilicemos la tasa es del 23% anual por lo tanto trabajaremos en años para homologar ambos tenemos un período de diez años y la incógnita es cuál es el valor actual o el equivalente hoy si depositamos dos mil dólares cada año durante diez años veamos la solución por fórmula tenemos que p es igual a factor de uno más ya la n-1 sobre y por uno más y a la n lo que hace esta fórmula es traer al presente todos estos depósitos que se tienen anualmente tener presente hay que tener presente que el presente inmediato de esta serie cae exactamente en cero por eso es que no es necesario utilizar otra fórmula simplemente traemos al presente esta serie anual con esta fórmula sustituyendo datos tenemos que que es igual a 2 mil x 3.79 92 6 99 86 dándonos un valor presente de 7 mil 598 punto 54 entonces nosotros podemos decir ahora que 7 mil 598 puntos 54 hoy es equivalente a dos mil dólares anuales desembolsados por 10 años resolvamos el mismo ejercicio por medio de tablas tenemos que es igual a multiplicado por el factor p dado a para unir y 1 en donde i es del 23% es de 10 años este es mencionar que una taza del 23% nosotros no la encontramos en las tablas que se les han proporcionado dentro de la asignatura ustedes pueden tener otras literaturas en el que si las pueden encontrar pero en nuestro caso como no están esta sería una incógnita que la vamos a resolver por medio de interpolación realicemos interpol ando para encontrar este factor busque en nuestro gráfico donde el eje de las x están los porcentajes y el eje de las ya está el factor de dado que es el que nosotros necesitamos encontrar tenemos que para una taza del 20 por ciento debemos de buscar una taza antes y una taza después del porcentaje que nosotros requerimos el factor que dado a para 20 por ciento para 10 años es de 4.19 247 colocamos este valor en nuestro gráfico y buscamos para la una tasa mayor que el 23% que sería la del 25% que es la que nosotros podemos encontrar dentro de tablas y el valor del factor es de 3.50 y 40 50 ya teniendo estos dos puntos simplemente unidos por medio d una línea colocamos la tasa que nosotros queremos teniendo entonces nuestra incógnita como ustedes pueden observar ahí se forma un triángulo y es importante ver eso porque con ese triángulo es que nosotros vamos a trabajar para realizar la solución por medio de interpolación tenemos la base y la altura del triángulo a es igual a 25 menos 20 que es la base de este triángulo y b es igual a 4.19 247 que es el valor del factor que dado a para el 20% y menos 3.57 050 que es el valor del factor p dado a pero para el 25% dándonos un valor debe de 0.62 197 ahora para poder relacionar nuestra incógnita será necesario buscar el otro otro triángulo pequeño como podemos observar aquí tenemos un triángulo en la parte superior y otro en la parte inferior es decisión nuestra cual elijamos en este caso seleccionaremos el triángulo en la parte superior y ahí tendríamos una prima y un ave prima que es la base y la altura de este triángulo inferior dándonos un dato de a prima de el 23 menos el 20% que es igual a 3 v prima que ahí es donde relacionamos el factor de dado a para un 20 por ciento y para el 23% por lo tanto también relacionamos las incógnitas ahí es donde tenemos las incógnitas por relación de triángulos tenemos que ver sobre a es igual a b prima sobre la prima esta fórmula recordemos o sale de decir tangente de teta donde si vemos el triángulo tenemos el mismo ángulo para ambos triángulos entonces ahí ustedes recordando un poquito de trigonometría verán la relación que ve sobre a es igual a de prima sobre a prima o opuestos sobre adyacente del triángulo mayor es igual a opuesto sobre adyacente del triángulo menor así sustituimos los datos y tenemos que ver prima es igual a b por a prima sobre a metamos nuestros datos a esta fórmula y tenemos que 4.19 247 menos x es igual a 0 puntos 62 19 7 por 3 entre 5 despejamos x que es nuestra incógnita obtenemos que x es igual a 3.81 9 288 y este sería el valor del factor p dado a para el 23% para un periodo de 10 ahora qué pasa si nosotros seleccionamos el triángulo inferior entonces nuestra prima y nuestra be prima habrán variado y a prima sería 25 23 ahora dándonos un valor de 2 y nuestra be prima es donde relacionaría nuestra incógnita que sería siempre es el mayor menos el menor que sería x menos 3.57 050 con eso despejamos o colocamos nuestros datos en esa fórmula y de luego despejamos x y obtendremos que x es igual a 3.81 92-88 dándonos el valor del factor que dado a para 23% y 10 como ustedes pueden observar en ambas soluciones seleccionando tanto el triángulo superior como el inferior obtenemos el mismo resultado del factor así que es válido dejar a criterio de ustedes cuál van a seleccionar en un momento dado que realice un ejercicio continuemos sustituyendo el dato que teníamos de x igual a 3.81 928 tenemos que p es igual a 7.600 38.58 ahora si podemos observar que es una diferencia sustancial pero hay que recordar que al error que ya tiene por que ya se tiene por las aproximaciones que se utilizan en en tablas nosotros debemos de agregarle el pequeño error que podemos cometer a una interpolación por eso la diferencia pero ambas respuestas son válidas veamos el ejemplo 6 una suma de 100 mil dólares debe reembolsar se uniformemente durante 10 años con una tasa de interés del 25 por ciento esta tasa si se encuentra en tablas así que no hay ningún problema nosotros vamos a trabajar con el 25% anual en un período de 10 años y lo que necesitamos conocer cuál es la serie equivalente de estos 100 mil dólares o cuántos serían de cuánto serían cada uno de los desembolsos por 10 años que sea equivalente a esos 100 mil dólares hoy veamos la solución por fórmula decimos que es igual a p factor de y por uno más ya la n sobre uno más y a la n menos 1 sustituyendo datos nosotros tenemos que es igual a 100 mil x 0.28 0 0 72 56 24 dándonos que la serie anual que equivale a 100 mil dólares por un periodo esta serie por un periodo de 10 años es de 28.000 7.26 dólares evaluado con una tasa del 25 por ciento anual realicemos el mismo ejercicio por tabla tenemos que dar es igual a factor de ha dado p para un y june donde y es el 25% y n es de 10 años buscamos este valor en las tablas y tenemos que el factor ha dado p para un 25% para 10 es de 0.28 007 sustituimos este valor y tenemos que a es igual a 28.000 punto cero 07.00 pueden observar que siempre hay una pequeña variación aunque es válida por las aproximaciones o por el error que se comete por las aproximaciones que tienen las tablas con esto damos por terminada la clase y hasta la próxima [Música] bien [Música]
