This video is a lecture on economic engineering, specifically focusing on the use of compound interest rate factors and arithmetic gradients. The lecture defines gradients, explains their types (arithmetic and geometric), and provides examples of arithmetic gradient calculations using both formulas and tables.
[Música]e bienvenidos a otra clase de ingeniería económica en esta ocasión continuaremos con el tema 1.5 uso de forma los factores de tasa de interés compuesto en si veremos el gradiente aritmético pero la gente a desarrollar el día de hoy son la definición de gradiente los tipos de gradiente el gradiente aritmético finalmente veremos algunos ejemplos de gradiente aritmético se denomina gradiente a una serie de flujos de caja ya sean estos que están ingresando a la línea del tiempo o saliendo de la línea del tiempo que serían ingresos o desembolsos deben de ser periódicos y que pueden incrementar o disminuir constantemente con relación al flujo de caja anterior en una cantidad o en un porcentaje cuando se trata de cantidad estaríamos hablando de un gradiente aritmético y cuando ese cambio constante se trate de porcentaje estaríamos hablando de un gradiente geométrico así conocemos los dos tipos el gradiente aritmético que como pueden observar ustedes aquí en el gráfico tenemos un aumento constante de g ya sea que tengamos una cantidad base como la que está acá o no ese cambio de g va siendo constante en cantidad ya sea a 100 200 lo que se nos ponga y el gradiente geométrico que esto va aumentando en un porcentaje por lo tanto se comporta geométricamente por eso la curva como la mostramos acá veamos ahora el gradiente aritmético por completo entonces este se define como los flujos de efectivos ya sean ingresos o gastos que aumentan o disminuyen cada periodo a una cantidad aritmética constante y a esa cantidad se le conoce con el nombre de gradiente aritmético así tenemos la línea del tiempo el primer flujo de un gradiente siempre se da en el al final del segundo periodo aunque el gradiente esté desde el cero hasta n así podemos notar que este va creciendo desde nosotros podemos ver que tenemos en uno que se ve visualmente que inicia aunque no tengamos ningún flujo de salida pero el inicio inicio se da en el punto actual cero así tenemos que en uno el flujo que sale es de 0 en el 2 es g en el 3 es 2 y así sucesivamente hasta llegar a n que sería n menos uno por g y como ya había mencionado es de notar que el primer flujo de un gradiente siempre es visual la parte visual se da hasta el segundo periodo esto no significa que comienza ahí solamente que ahí se logra visualizar este gradiente inicia en cero y se visualiza hasta en dos lo veremos con más detalle cuando veamos algunos ejercicios esta serie uniforme puede convertirse a una serie anual a través de la siguiente ecuación y ahí tenemos que el gradiente es igual a g la serie uniforme o la serie anual de g es igual a g factor de o x 1 sobre y menos n entre 1 más y a la n menos 1 el término en corchetes es el factor para la conversión del gradiente a ser uniforme porque se hace este comentario porque este factor nosotros lo podemos encontrar en las tablas cuando veamos el ejemplo veremos como usamos las tablas para encontrar este factor así en las tablas o nosotros lo representamos de manera simplificada como adeje igual a g factor de ha dado g para uno y para un n determinado qué pasa cuando nosotros cuál es el comportamiento gráficamente qué es lo que hace la fórmula la fórmula lo que hace es convertirme es el gradiente o esas sumas que están aumentando constantemente en una cantidad que las convierte en una serie que como pueden ver inicia en cero y termina en n aunque los flujos son de fin de periodo recuerde que las series todas las fórmulas están dadas para que sean de fin de periodo por eso es que se visualiza de esa manera para convertir un gradiente aritmético g de n años en un valor presente utilizamos ahora la fórmula que podemos observar ahora gráficamente lo que la formula hace es traer todo este gradiente al presente inmediato que podemos observar en cero entonces el presente inmediato cae exactamente en el punto cero como ya les había mencionado este gradiente que observamos acá inicia en cero aunque se visualiza el primer desembolso en dos y termina en el período n así que con esta fórmula nosotros lo traemos al presente inmediato si nosotros quisiésemos llevar esta fórmula a un futuro inmediato del gradiente lo multiplicamos por uno más ya la n iv obtenemos f dg igual a que sobre y factor de uno más ya la n-1 entre y menos n veamos gráficamente lo que hace la fórmula lleva el gradiente al futuro inmediato del gradiente y el futuro inmediato del gradiente cae exactamente como se puede ver en n entonces hay que tener presente donde cae el presente y donde cae el futuro inmediato de este gradiente por eso es que hay que tener claro dónde inicia y dónde termina el gradiente veamos ahora el esquema cuando tenemos un gradiente aritmético más una serie la serie lo que nos determina es la base la cantidad con que se inicia como se puede observar en el diagrama y luego solo podemos montar fácilmente nuestro gradiente o tenemos la base ya no sería en cero sino que nuestro primer desembolso que caería en el periodo 1 sería base y de ahí va aumentando una cantidad entonces siempre el gradiente el primer desembolso del gradiente comienza al final del periodo 2 y recalcando todo esto inicia en cero y termina en n como se puede ver así tenemos que el primer flujo es la base más 0 nos queda la base en el periodo 2 queda a base más g y así sucesivamente hasta el periodo en que me queda la base más o menos en n menos 1 factor de g cuando nosotros tenemos una base si ustedes como pueden observar en la fórmula simplemente a la fórmula del gradiente se le agrega si es la cantidad base si es un gradiente que va creciendo se usa el signo más y si es un gradiente decreciendo o que hace que esta base disminuya se le coloca el signo menos ahora por tablas nosotros simplemente lo colocamos como a la serie uniforme equivalente sería igual a la base más menos dependiendo si es un gradiente en aumento o decreciente qué factor de adado g para unir y para un n en el esquema aquí tenemos un esquema simplificado de cómo se representa un gradiente con una base simplemente colocamos al inicio como el primer flujo que ustedes pueden observar tenemos la base y luego esta va a ir aumentando g una cantidad aritmética por eso es que ustedes ven un una recta creciente entonces esto lo que hace la fórmula lo que hace es tener la base que la podemos podríamos colocar una base y luego haberle montado la ahe a surge que sería la del gradiente y la final sería la suma de las dos veamos algunos ejemplos de gradiente aritmético ejemplo uno determina el valor equivalente anual uniforme de los siguientes desembolso se presentan mil dólares al final del segundo año dos mil al final del tercer año y tres mil al final del cuarto año con una tasa de interés del 15% lo primero que siempre les hemos dicho es verificar cuál es la tasa de interés efectivo para saber con qué periodo de tiempo vamos a trabajar y cómo esta tasa no nos dice vamos a asumir que esta tasa es una tasa anual por lo tanto trabajaremos en años con eso nosotros nos dice que tenemos el primer desembolso al final del segundo año que es de 1000 el segundo de 2000 y el tercero de 3000 perfectamente lo podríamos trabajar como datos puntuales y traerlo o volverlo una serie uniforme así pero como pueden ver esto va aumentando de mil en mil y eso se considera que es un gradiente que no tiene a base su a base sería cero y el gradiente o el aumento se va dando en mil dólares cada periodo como decíamos el primer desembolso se visualiza en el segundo periodo al final del segundo periodo así nosotros lo que buscamos es volverlo una serie anual uniforme realicemos lo por fórmulas diríamos que esa serie es igual la base que para nuestro caso ya hemos dicho que es 0 + menos g factor de 1 sobre y menos n sobre uno más ya la n menos 1 como es un gradiente creciente nosotros utilizaremos el signo positivo sustituyendo datos tenemos que a es igual a mil x 1.32 62 57 29 1 dándonos un valor de 1300 26.26 veamos la solución por tablas simplificadamente tenemos que esa serie anual uniforme es igual a la base más menos g factor de adado g para unir y para un n sustituyendo datos tenemos que a es igual a 0 más debemos determinar que esté más es porque es un gradiente creciente por mí 1000 x ha dado g para el 15 por ciento que es la tasa que estamos manejando con un período de cuatro años busquemos ese factor en tablas lo primero que debemos de recordar es que busquemos el porcentaje del 15 por ciento cuando ya hayamos localizado ahí pueden observar que tenemos el factor de gradiente que es ha dado que para el 15 para un n de 4 y eso no es nada más que un 1.32 626 sustituyendo este dato tenemos que a es igual a 1300 26.26 lo hagamos de una forma u otra llegamos al mismo resultado normalmente nosotros trabajamos con tablas porque nos agiliza y disminuimos los tiempos de los procedimientos así decimos que el valor equivalente anual uniforme de los desembolsos de 1000 al final del segundo año 2000 al final del tercero y 3000 al final del cuarto año es de 1300 26.26 evaluado con una tasa mínima atractiva de rendimiento del 15 por ciento anual y un periodo de estudio de 4 años veamos un segundo ejemplo dice se tiene una serie de gastos de 4 mil dólares anuales en mantenimiento el cual aumentará 100 dólares cada períodos de terminar la serie equivalente de estos flujos de efectivo con una tasa aplicada del 10% y un período de 20 años recordemos que lo primero que debemos de visualizar es la tasa de interés efectiva y como ésta está en años o es anual trabajaremos con 20 años la línea del tiempo estará dada en años tenemos nuestra base y sobre sabemos que vamos aumentando 100 dólares cada periodo así simplificando lo obtenemos que en la base sería de 4000 y el gradiente es de 100 dólares esta es la forma esquemática simplificada de como nosotros normalmente lo trabajamos aunque no significa que no podríamos trabajar con este diagrama este diagrama también es factible pero por cuestión de facilitarnos nosotros normalmente nos quedamos con este diagrama veamos la solución decimos que la equivalente es igual a la base más menos g factor de adado g para un i y para un n de aquí en adelante nosotros ya no trabajamos tanto con fórmulas lo trataremos de hacer por medio de tablas como es un gradiente creciente el signo que utilizamos nosotros es el signo positivo para los 4000 más 100 dólares que es el gradiente factor de adado g para el 10% y un período de 20 años buscando este dato en forma en tablas tenemos que eso es 6.50 808 sería bueno que ustedes verificarán en sus tablas este valor para que lo comparas en y 10 en que efectivamente este es el valor así tenemos que la equivalente al final da un valor de 4.600 50.81 gráficamente podemos observar que el gradiente que nos presenta al inicio es equivalente a una serie que inicia en el link al inicio del periodo 1 al primer desembolso es en 1 y termina en 20 puesto que al igual que el gradiente que se está mostrando en el primer gráfico inicia en 0 y termina en 20 aunque los flujos como son de fin de periodo los flujos caen en 1 el valor equivalente anual uniforme de la serie de gastos de 4000 anuales en mantenimiento el cual aumenta a 100 dólares cada periodo es de 4600 50.81 evaluado con una tema del 10% anual y un periodo de estudio de 20 años estas son las cosas que nosotros debemos de incluir cuando nosotros estemos dando una conclusión o una respuesta a la pregunta que se nos están dando veamos otro ejemplo nos dice calculé la serie anual equivalente con una tasa del 15 por ciento de una serie de flujos no uniformes que se muestran a continuación y así nos dan los flujos la tasa desde el 15 por ciento por lo tanto nosotros trabajamos en años y vemos que estos flujos van disminuyendo pero si notamos esta disminución se va dando de mil en mil así nosotros podemos considerar esto es como que si tuviésemos una a base de 8000 dólares y como se está disminuyendo g en 1000 esa es la parte que nosotros quitamos ese es el gradiente que nosotros vamos a restar del a base de ahí esa es la forma simplificada de representarlo de ahí que la solución cuando tenemos el equivalente el signo que nosotros utilizaremos es el signo negativo porque es un gradiente decreciente así tenemos que la serie anual equivalente es igual a los 8000 menos 1000 factor ha dado g para el 15 por ciento para cuatro años buscamos este dato en tablas y nos dice que es de 1.32 626 sustituimos resolvemos dándonos un equivalente de 6.600 73.74 así tenemos que el valor equivalente de este gradiente que inicia con a base de 8000 y va disminuyendo mil en mil cada periodo sería de seis mil 673 esquemáticamente así se representa y como pueden observar ambos inician en cero y terminan en cuatro puesto que deben de contener el mismo período para que en realidad sea la equivalencia con esto concluimos que el valor equivalente anual uniforme de una serie de flujos no uniformes como estamos viendo en el diagrama es de 6.600 73.74 evaluado con una temas del 15% anual y un período de estudio de cuatro años con esto nosotros damos por finalizada la clase del día de hoy hasta la próxima [Música]y [Música]
