This video is a lecture on economic engineering, focusing on the application of formulas and interest rate factors in compound interest calculations. Specifically, it covers geometric gradients and provides examples of their use in financial calculations.
[Música] bienvenidos a otra clase de ingeniería económica continuaremos con el tema 1.5 uso de fórmulas y factores de tasa de interés compuesto la agenda desarrollar el día de hoy se es el gradiente geométrico y algunos ejemplos de este tipo de gradiente recordemos que existen dos tipos de gradiente el gradiente aritmético el cual visualizamos y lo estudiamos en la clase anterior y hoy veremos el gradiente geométrico nos dice que los gradientes geométricos son series no uniformes de ingresos o desembolsos que varían de uno a otro en el mismo porcentaje o sea que esa variación sigue siendo constante en aumento o en disminución pero en un porcentaje para nuestro caso lo llamamos con lo llamaremos con g minúscula y g es positivo si el gradiente está creciendo o negativo cuando está decreciendo veamos ahora la línea del tiempo y los diferentes desembolsos que tenemos en ingrediente geométrico como pueden ver el primer desembolso acá se da en el primer periodo al final del primer periodo puesto que todo lo que vamos a estudiar siempre es para fin de periodo y está a en el gradiente aritmético nosotros lo considerábamos como un a base y podía o no existir en cambio ingrediente geométrico este es el primer desembolso pues de este parten los otros o los porcentajes de aumento que se tiene así podemos observar que va creciendo de una forma geométrica la forma de crecimiento ustedes pueden notar que es un crecimiento geométrico si tenemos el primer desembolso en a el segundo que es a por 1 + g o podríamos decir que es el primer desembolso más el porcentaje de este primer desembolso en el que ha crecido en este caso es un crecimiento puede ser que haya disminuido pero en este caso son crecimientos y así sucesivamente el tercer desembolso sería lo que el resultado del 2 más el resultado del 2 x por el porcentaje o la tasa de cambio y eso se resume como factor de 1 + g al cuadrado es de visualizar que cuando llegamos al punto n sería por 1 más que elevado a la n menos 1 este exponencial siempre será uno menos del periodo en el que nosotros estamos como pueden observar acá siempre es 1 - del periodo que nosotros estamos visualizando y así es cómo se descompone un gradiente geométrico veamos ahora el gradiente geométrico decreciente como pueden ver siempre tenemos el primer desembolso y el decrecimiento siempre es exponencial por eso es su comportamiento la parte del porcentaje que disminuye siempre va a estar basado en el periodo anterior aquí lo vemos en fórmula pero perfectamente si yo quisiese calcular el flujo del periodo 4 simplemente vería el flujo del período 3 y este menos el porcentaje og de ese período anterior tendríamos el flujo del período 4 esto va a quedar más claro cuando nosotros realicemos algunos ejemplos veamos esta es la parte del gradiente que va a ir disminuyendo porcentualmente y los flujos nos quedan como se muestra en la lámina esta serie no uniforme empieza en el periodo 1 con una cantidad inicial a la cual no se considera en el avance como ya les había mencionado y para determinar el valor presente equivalente cuando g es diferente a la t mar y como dice acá tenemos que psoe es igual a a por uno menos uno más g entre uno más y elevado a la n todo eso sobre y menos si es de notar que cuando esto es para cuando el valor dice que es creciente y cuando ese gradiente geométrico es creciente qué pasaría si fuese decreciente pues simplemente el valor de g considerado en la parte superior y en la parte inferior cambiaría el signo significa que en lugar de decir uno más g diría uno menos g igual en la parte inferior dice y menos g ahí sería y más g y eso ustedes lo van a encontrar mejor space especificado dentro de su hoja de fórmulas pero también acá lo mencioné mencionaremos específicamente ahora qué hace esta fórmula lo que la fórmula hace es llevármelo al valor presente inmediato donde inicia el gradiente y como podemos observar como son cantidades de fin de periodo allá tenemos el valor de 0 entonces ese valor de 0 es el inicio del periodo y el final del periodo para este gradiente es n por lo tanto tenemos gráficamente que lo que la fórmula hace es traerlo al presente inmediato en el punto cero ok entonces si se desea conocer el valor futuro de este gradiente multiplicamos la fórmula anterior por uno más y alain y tenemos que resurge es igual a factor de uno más y a la n menos uno más que a la n todo eso sobre y menos g de igual estas fórmulas son consideradas cuando g no es diferente ahí y para un gradiente geométrico creciente cuando es decreciente como ya les he mencionado sólo varía el signo que antecede a g gráficamente tenemos que esta fórmula lo que hace es traer melo al valor futuro del gradiente el valor futuro relativo a este gradiente donde el gradiente termina ya hemos mencionado que termina exactamente en n por eso me lo lleva al valor futuro inmediato que en este caso es n y eso es lo que la fórmula hace gráficamente nosotros tenemos esta fórmula cuando que es diferente de la t mar y de iv pero qué pasaría si que es igual a la t mar entonces nosotros vamos a utilizar esta nueva fórmula que está ya está reducida y multiplicada adecuadamente cuando es igual ahí hay una pequeña diferencia pero hay que tener cuidado puesto que si no lo obtenemos así pues nos va a dar un error que básicamente es el error que todo dividido entre ser da cero entonces se nos estaría anulando si utilizamos la fórmula que está en la parte superior por eso es que hay que tener cuidado en cual estamos utilizando gráficamente hace exactamente lo mismo que la otra trae al valor presente inmediato ahora nosotros podemos observar acá lo que pasa y ya les había mencionado cuando tenemos un gradiente geométrico decreciente como pueden observar ahí ustedes pueden observar en la parte de arriba que ha cambiado el signo y también en la de abajo tanto para un valor presente como para el valor futuro al igual que el anterior lo que hace es traerlo al presente inmediato de ese gradiente que cae en cero puesto que como se puede observar en la primera gráfica que está allá inicia en cero y termina en el valor n y el valor presente inmediato de ese gradiente se da en 0 el valor futuro por lo tanto estaría en n veamos algunos ejemplos de gradientes geométricos el ejemplo 1 dice que se tiene una serie de desembolsos por 6 años que inician en el año 1 con un valor de 5000 y aumentan el 12% anual en lo sucesivo considerando una tasa de rendimiento del 15 por ciento determine el valor futuro en el año 10 bueno lo primero que hay que ver que late mar es del 15% por lo tanto y está tema es anual por lo tanto nosotros vamos a trabajar en años y me da que tenemos una serie de desembolsos que inician inician al final del año 1 con 5000 y aumentan un 12% es de notar que el aumento implica un gradiente geométrico creciente me dicen que son 6 desembolsos entonces este sería el comportamiento que nosotros tenemos resolviendo lo que queremos el valor futuro equivalente en el año 10 resolviendo este gradiente tenemos el primer desembolso de 5000 si nosotros multiplicamos este 5000 por punto 12 nos darán 600 más los 5.000 que teníamos de base por eso el segundo desembolso es de 5600 el tercer desembolso es basado en el desembolso anterior serían los 5600 por el punto 12 más los 5600 y eso nos da un resultado de 6 mil 272 esta es otra manera de cómo ir resolviendo desembolso por desembolso de este gradiente veamos la forma simplificada al final de como nosotros lo podemos representar recordemos que es importante que nosotros sepamos el comportamiento de este gradiente geométrico de ahí por lo cual se les han colocado cada uno de estos flujos aunque al final nosotros podemos utilizar perfectamente este gráfico o este esquema simplificado veamos la primera solución de este ejemplo sabemos que g es diferente de y por lo tanto utilizamos la fórmula que me lleva al futuro inmediato de este gradiente sabiendo que el futuro inmediato de este gradiente que inicia en 0 y termina en 6 nosotros decimos que inicia en 0 pero el primer desembolso siempre es en 1 porque son cantidades de fin de periodo tenemos que estar en 6 por lo tanto la fórmula lo que va a hacer es llevármelo al punto 6 veamos o recordemos que nosotros o nuestro objetivo es llevarlo hasta el punto 10 con esta fórmula simplemente lo llevamos hasta el punto 6 veamos los datos de ese gradiente tenemos que a es igual a 5000 hola te marees del 15% anual que es del 12% y en nosotros podemos ir contando cada uno de esos desembolsos y si ustedes como ustedes pueden visualizar n es igual a 6 otra manera de poderlo hacer es el último desembolso que cae en 6 menos el inicio del gradiente que como son cantidades de fin de periodo el inicio del gradiente sería 0 sería 6 -0 da n igual a cero esta es otra manera de poder contabilizar cuántos flujos tiene este gradiente introduzcamos los datos y tenemos que resurge es 56.500 39.68 ya teniendo este dato y recordando que nuestro objetivo o la pregunta que nos han dado es cuánto es el valor equivalente en el año 10 tendremos que trasladar este efe surge de 6 hasta el punto 10 para eso utilizamos la fórmula de factor único que o un efe dado p considerando qué bs.f surge y es 56.500 39.68 puesto que es relativo al punto 10 sf surge sería considerado un p tenemos siempre el y el 15% y n son los periodos que yo voy a trasladar como ustedes pudieron observar se consideran de 6 a 7 es uno de 7 a 8 es 2 de 8 a 9 3 y de 9 a 10 son cuatro periodos que yo voy a considerar otra forma de hacerlo fácilmente simplemente es decir 10 menos 6 y ahí tendremos siempre que se va a trasladar cuatro períodos así vemos que el factor fdp para un 15% y un n 4 es de 1.74 901 teniendo un f equivalente o en el equivalente 10 o en el año 10 de 98888 punto 47 entonces nuestra conclusión sería el valor futuro al final del año 10 equivalente de una serie de desembolso por 66 años que inicia en el año 1 con un valor de 5000 y aumentan el 12% anual en lo sucesivo este 98888 punto 47 evaluado con una tema del 15 por ciento y un periodo de estudio de 10 años las partes que ustedes ven resaltadas en color azul son las que son prioridad que nosotros mencionemos la otro es una redacción que ustedes pueden variar pero que siempre se trate de entender lo que se está queriendo decir o lo que dar una respuesta al problema que nos están planteando veamos una segunda solución de este mismo ejemplo para ello nosotros vamos a utilizar la fórmula del valor presente inmediato para ese gradiente ya no lo llevaríamos al futuro inmediato sino que al presente el inmediato que como ya hemos dicho cae en ser pues éste gradiente se inicia en cero y termina en 6 así tendremos que surge caería en cero pero lo que nosotros andamos buscando o lo que nos está pidiendo el ejercicio es llevarlo hasta 10 veamos los datos tenemos que dar 5000 y es el 15 por ciento que es el 12 y n sigue siendo 6 podemos contar cada uno de los flujos o como ya les dije es el final del gradiente - aquí se sería el periodo anterior al primer flujo para decirlo de otra manera 6 - 0 me da 6 sustituimos estos datos y tenemos que psg es de 24 mil 443 puntos 66 pero nuestro objetivo es llevarlo hasta 10 por lo tanto utilizamos el factor f dado p donde tenemos que para este caso p es nuestro peso g y es del 15% y n es 10 - ser o sea 10 si no lo queremos hacer así perfectamente podemos ir contando uno por uno tal cual apareció en la diapositiva sustituyendo datos tenemos que el factor f dado p es de 4.045 56 recordemos que estos datos nosotros los encontramos en las tablas dándonos un resultado final df sep 10 igual 98888 punto 29 comparando o dando una solución podemos observar que es aproximadamente lo que nos dio anteriormente la conclusión sería muy similar sólo que hay que tener cuidado que no pongamos la anterior si hemos hecho dos procedimientos y debemos de mencionar que el valor futuro equivalente de ese gradiente es de 98888 puntos 29 evaluado con una tasa del 15% anual y un periodo de estudio de 10 años aquí tenemos una comparación gráfica de las dos soluciones y como ustedes verán hay una pequeña variación que se da por las aproximaciones que nosotros tenemos en tablas pero ambos resultados son válidos [Música] bien [Música]
