This video demonstrates the application of the multipliers method to solve a transportation problem. The process involves assigning multipliers to rows and columns, setting up equations for basic variables, selecting an arbitrary value (often 0) for a multiplier to simplify calculations, and iteratively refining the solution until an optimal solution is reached where all net costs for non-basic variables are non-negative.
[Música] apliquemos ahora entonces el método de multiplicadores tenemos la tabla con la solución inicial de acuerdo a los pasos planteados se le asigna a cada fila le vamos a asignar un multiplicador es decir a cada origen por lo tanto a la fila 1 le asignamos el multiplicador 1 a la 2 un suv 2 y al a 383 hacemos lo mismo con los destinos en las columnas asignamos el multiplicador de su 1 a la columna 1b 2a la columna 2 b sub 3 a la columna 3 y de su 4 a la columna 4 hemos realizado la asignación de los multiplicadores para las filas b para las columnas luego vamos a plantear para cada variable básica esta ecuación se su hijo está igual al uso y más de su hijo eso lo vamos a hacer para cada variable básica es decir aquella que tiene una cantidad asignada aquí están planteadas las ecuaciones correspondientes para todas las variables básicas veamos por ejemplo para la variable básica de la fila 1 columna 1 su c su y j es decir su costo unitario de transporte es 3 esto lo igualamos al puig de la fila 1 + el b de la columna 1 entonces se nos forma la ecuación 3 igual a un 1 más 1 lo mismo vamos a siguiendo para todas las variables básicas veamos la siguiente es la fila 1 columna 3 que tiene una asignación de 10 su costo unitario es 7 entonces igualamos 7 a su correspondiente y que sus 1 y a su vez que es b sub 3 entonces decimos 7 igual a 1 más b sub 3 expliquemos uno más afilados columna 2 en donde está asignado 40 el costo unitario es 2 aquí tenemos dos y el correspondiente v de la fila 2 es sub 2 sumamos entonces un sub dos más el b de la columna 2 que es b sub 21 sub 2 + b sub 2 de la misma manera entonces vamos haciendo lo mismo para la casilla 2 3 33 y 34 utilizando esta ecuación una vez que hemos planteado las ecuaciones para cada variable básica el procedimiento dice que vamos a tomar un valor arbitrario para cualquier u o cualquier b generalmente facilita los cálculos asignar un valor de 0 a uno de los multiplicadores y podemos tomar el criterio de asignarle ese valor 0 a la fila o columna es decir al o al be correspondiente en donde hayan más variables básicas en la fila 1 hay 2 2 en la 2 y 2 en la 3 pero si observamos en las columnas aquí hay una variable básica aquí hay una ya que hay tres variables básicas seleccionamos entonces b sub 3 es el multiplicador de la columna 3 y a este le asignamos el valor de cero esto es para que nos facilite los cálculos pero se le puede asignar a cual cualesquiera de los multiplicadores observemos que ahora vamos a sustituir este valor de vez tres en esta ecuación en donde se encuentre b sub 3 y tenemos lo siguiente la ecuación que dice 7 igual a 13 sustituimos el beso 3 por 0 y nos queda 7 igual a 10 por lo tanto de aquí ya podemos establecer que el valor de un sub 17 observen que entre más valores hay de 0 hacemos más cálculos por es que selecciona donde hay más variables básicas aquí tenemos en la en otra de la fila 3 igual a un sub 23 sustituimos 3 igual al sub 20 y determinamos que un sub 12 estrés similar en esta ecuación es 6 igual a sus temas de sus 3 sustituimos el valor de versus 3 que 0 y tenemos 6 igual y sub 3 entonces ya tenemos el valor de uso 1 sub 21 sub 3 ya conociendo estos valores podemos sustituirlos en el resto de ecuaciones y determinar el valor de los otros multiplicadores por ejemplo en la primera dice 3 igual a 7 1 es la ecuación 3 igual a 1 b sub1 sustituimos un sub 1 que ya determinamos que 7 por eso nos queda acá 3 igual a 7 + bcv despejando entonces el valor de vez uno es igual a 3 menos 7 nos queda menos 4 y de la misma manera vamos calculando para el resto de ecuaciones con los valores que ya conocemos o ya conocemos 1 sub 23 vs 1 y vamos haciendo las sustituciones por ejemplo en esta siguiente que dice 2 igual al sub 22 sustituimos 2 igual a 12 que ya vimos que es 3 v sub 22 pegamos b sub dos nos queda dos menos tres igual a menos uno y de la misma manera para encontrar el beso 4 hemos entonces he encontrado los valores de los multiplicadores los colocamos en la tabla y ya tenemos entonces establecido que usó uno igual a 7 resultó es igual a 33 igual a 6 que son los valores que están acá y ves uno igual a menos 42 igual a menos 13 igual a 0 y 4 igual a menos 4 este es el trabajo que hemos hecho con las variables básicas ahora viene la siguiente parte vamos a calcular estos valores que aparecen aquí en estos recuadros hemos hecho un nuevo recuadro en las variables no básicas que es donde vamos a colocar el costo neto asociada a cada variable no básica lo que acabamos de hacer fue para las variables básicas hoy vamos a trabajar con las variables no básicas para ello vamos a utilizar la ecuación que nos da el procedimiento que dice costo neto se sube jota es igual al c su hijo está menos el uso y menos el beso j esta ecuación se le aplicamos a todas las casillas de las variables no básicas tomemos estos dos ejemplos tenemos la variable no básica fila 1 columna 2 que es la x 1 2 sustituyamos en la ecuación para encontrar el costo neto de la variable 12 el ceso y jota es del costo unitario 5 - el uso y vemos cuánto es el de la fila 1 es 7 entonces menos 7 - el bcj como estamos en la fila 1 columna 2 el besugo está es b sub 2 que es menos 1 entonces tenemos 5 menos siete menos -1 el resultado de esta operación es menos 1 ss entonces el costo neto asociado a la variable 12 eso lo escribimos en esta casilla menos 1 expliquemos otro cálculo seguimos y aquí está otra variable no básica porque no tiene asignación este es la fila 1 columna 4 estamos hablando de la x 14 calculamos el costo neto para la variable 14 esto es igual al costo unitario que 5 - el correspondiente de la fila que 75 menos 7 menos el valor debe de la columna 44 entonces tenemos 5 menos que 7 - b que es menos 4 hacemos la operación 5 menos 74 y el resultado es 2 este es el valor del costo neto asociado a la fila 1 columna 4 es decir a la variable 14 de la misma manera vamos a calcular el costo neto para el resto de variables no básicas la 21 que da 7 la 24 que obtenemos 6 la 31 cuyo costo neto es 2 la 33 cuyo costo neto en menos 2 aquí están realizados los cálculos que hemos hecho para entonces obtener estos valores que son los costos netos asociados a las variables no básicas para qué estamos haciendo esto el paso 2 en el proceso de solución óptima dice de que la solución actual es decir la que tenemos allí es óptima si todos los costos netos asociados a las variables no básicas son no negativos observemos los costos que tenemos aquí tenemos un negativo y acá tenemos otro negativo por lo tanto concluimos que esta solución no es óptima y entonces pasamos al paso interactivo que es la tercera parte para determinar una variable que entra una variable que sale y la nueva solución decimos que la variable de entrada el primer aspecto la variable de entrada se encuentra en aquella casilla que tiene el costo neto más negativo si hay un empate se selecciona la que tenga el menor costo en este caso hay un costo neto de menos 1 y un costo neto de menos 2 por lo tanto este es el más negativo este corresponde a la variable x fila 3 columna 2 x 3 2 se convierte en la x 32 en la variable de entrada luego si hay una variable de entrada tenemos que determinar una variable de salida para ello construimos un circuito este circuito inicia en la variable de entrada y digámoslo así vamos y damos el recorrido partimos de la variable de entrada y regresamos a la variable de entrada solo podemos cruzar en donde se encuentren variables básicas por ejemplo yo podría venir hacia acá y cruzar o digamos podría venir puede ser de que esta variable no me sirva para cruzar y si va hasta la siguiente y esta no la ocupó como parte del circuito utilizo la x 34 pero si seguimos esta ruta incluso acá solamente pueden ser líneas verticales y horizontales entonces incluso acá en 30 tenemos que cruzar sobre la columna y ya no llegamos a ninguna variable básica por lo tanto ya no podríamos cerrar el circuito entonces tenemos que buscar aquellas variables básicas que nos permitan cruzar y regresar a la variable de entrada buscando el menor número de variables a tocar es decir el circuito más corto en este caso vamos a hacerlo en el sentido de las agujas del reloj partamos de la equis 32 nos dirigimos a esta casilla y nos encontramos con una variable básica entonces conectamos la casilla 3 2 con las 22 aquí podemos cruzar para allá pero ya no llegamos a nada no solo para acá pero podríamos entonces podemos cruzar a la derecha aquí hay otra variable básica y continuamos el circuito lo que voy buscando regresar acá cruzamos hacia arriba llegaríamos después de esto ya no podemos regresar entonces lo hacemos hacia abajo a esta variable básica y luego de aquí cruzamos y regresamos a la variable de entrada hemos entonces cerrado el circuito una vez que hemos hecho el circuito vamos a colocar en cada casilla un signo más o un signo menos vamos a comenzar en la variable de entrada con el signo + y luego vamos a ir alternando en cada esquina del circuito si pasamos por una variable básica que ahora es parte del circuito ahí lo colocamos el 5 empezamos con más y llegamos a esta esquina ponemos menos seguimos a la siguiente esquina alternamos más a la siguiente esquina alternamos menos y regresamos para qué estamos haciendo esto la variable de salida se encuentra en las casillas que tienen signo menos aquí tenemos dos casillas con signo menos en aquella que tenga la menor asignación esta tiene 40 y esta tiene 10 por lo tanto en esta la variable de esta casilla es la variable que sale que en este caso es la x 3 3 concluyendo la variable de entrada es la variable x 32 la variable de salida es la variable x 33 todavía nos hace falta algo la variable de salida tiene asignadas 10 unidades este valor de 10 que he asignado a la variable que sale lo vamos a ir sumando y restando en las esquinas del circuito de acuerdo al signo que tenga la casilla como lo podemos ver acá la x 32 que es la variable que entra como era una variable no básica llega con valor cero y la variable x 33 que era la variable que sale tiene asignada 10 unidades entonces este valor es la constante que vamos a ir sumando y restando en el circuito comenzamos con la variable de entrada su valor es 0 porque era no básica le sumamos 10 y ahora queda con valor de 10 seguimos a la siguiente su valor es 40 y tiene signo menos entonces le restamos este valor de 10 40 menos 10 30 continuamos en el circuito tiene signo más entonces tiene asignado 20 le sumamos este valor constante de 10 y ahora es 30 en el siguiente esquina del circuito tiene signo menos hizo asignación y 10 le restamos el valor 10 constante y nos queda 0 precisamente se encuentra de otro color para indicar que este valor ya no lo vamos a escribir el de 0 porque ahora esta variable se convierte en variable no básica y por lo tanto su valor es 0 pero no se escribe el nuevo tablero que nos queda es acá en las casillas correspondientes 20a agregando las casillas que tienen asignaciones es decir variables básicas que tienen una asignación y que no forman parte del circuito estas no se modifican quedan igual como se encuentran en la solución actual las que se modifican solo son las que forman parte de la esquina del circuito por lo tanto la solución que tenemos es 2010 estando se han modificado ahora 30 30 10 y aquí nada y en esta casilla no era parte del circuito se mantiene igual 30 no podemos ver acá este es la nueva solución x 11 20 x 13 10 x 22 30 x 23 30 x 32 10 y x 34 30 y con esto hemos terminado de hacer la iteración hemos encontrado una nueva solución ahora la pregunta que tenemos que respondernos es es esta una solución óptima para ello hay que desarrollar nuevamente el mismo proceso bien tenemos acá la nueva solución con los cambios que ya mencionamos cuando realizamos el circuito hemos terminado con la segunda interacción qué tenemos que hacer ahora de terminar nuevamente si esta solución es óptima o no acá está entonces la importancia de que la solución básica inicial esté cerca de la solución óptima porque entre más lejos nos cae en términos del valor del zeta del costo mínimo más iteraciones hay que realizar para llegar a la solución óptima nuevamente tenemos que repetir el proceso ya ahora que ya hicimos las interacciones anteriores colocamos los eau para cada fila los b para cada columna procedemos a elaborar las ecuaciones para cada una de las variables básicas siempre con la fórmula se sube j igual al uso y más el verso j remarcando que esto se hace para cada variable básica tomemos ahora otro ejemplo la variable básica 3 fila 3 columna 4 entonces su costo unitario de transporte es 2 ponemos aquí 2 su correspondiente v de la fila 3 es sub tres más su correspondiente b de la columna 4 que es b 4 de esta manera hemos elaborado para cada variable básica su correspondiente ecuación con 6 got e igual a luz sube más el peso j vamos a asignarle a algunas de las variables el valor de 0 en este caso le hemos asignado a b sub 2 en valor de 0 y procedemos a sustituir en aquellas ecuaciones dónde se encuentra el valor de b2 y aquí tenemos en esta tenemos dos también en esta 5 igual a 1 2 como ves sub 20 entonces uno es igual a 5 en la siguiente sub-20 2 igual al sub 21 sub 23 igual a 2 como ya conocemos 1 2 seguimos sustituyendo en las ecuaciones y determinamos el valor del resto de multiplicadores como lo hemos realizado en las instalaciones anteriores ya tenemos que usó 15 sub 22 sub 33 vs 1 es menos 2 b sub 20 y sub 31 y verso 4 es menos 1 ahora hacemos el cálculo para las variables no básicas de sus correspondientes costos netos con la misma fórmula si su hijo está igual al de su hijo está menos el uso y menos el bcj para todas las variables no básicas tomemos de ejemplo la variable 3 fila 3 columna 1 en la fila 3 columna 1 tenemos el costo unitario es 4 - el valor de la fila de luque es 3 4 - 3 - sube que es b sub 12 tendríamos 4 - 3 - menos 2 eso nos da 3 en la fila 3 columna 1 de esa manera se ha hecho para todos y hemos encontrado los valores de los costos netos para todas las variables no básicas observemos el tablero y al ver los costos netos ya no hay valores negativos por lo tanto al no haber valores negativos se cumple el criterio de optimi that que todos los costos netos sean mayores o iguales que 0 hemos llegado a la solución óptima acá tenemos x 11 igual 20 12 igual 10 22 igualmente 23 igual 30 32 igual 10 x 34 igual 30 esta es la solución óptima calculamos su costo y el costo mínimo de la solución que tenemos en el tablero siempre multiplicamos la asignación por su costo unitario veinte por tres más diez por cinco más veinte por dos más treinta por tres más diez por tres y por último más treinta por dos eso nos da el valor monetario del costo mínimo de z igual a 330 esto que tenemos entonces es ya la solución óptima con esto hemos hecho la aplicación completa del método de solución de un problema de transporte auxiliando nos del método de multiplicadores llegamos al final de la presentación gracias por su atención hasta la próxima [Música] bien [Música]
